线性方程
线性方程组
- 对增广矩阵作初等行变换，化为行阶梯型
- 若mxn矩阵的元素全为0，则称为零矩阵，记作Omn (或简记为O).
矩阵算数
非奇异矩阵
- 可逆
- 行列式！=0
- Ax=b有一个解
- Ax=0唯一解x=0
- 唯一A^-1^=B
奇异
- det=0
- O是奇异矩阵
- 没有逆
对称矩阵A^T^=A
- A+A^T^
- AA^T^
- 反对称矩阵A^T^=-A
- A-A^T^
初等矩阵
- I^-1^=I
行列式
- 余子式a~ij~det(M~ij~)
- 代（负）数余子式(-1)^i+j^
- 计算A|I变成I|A^-1^
AB=I
- A^-1^=B
- det(AB)=det(A)det(B)=det(BA)
- det(A^-1^)=det(A)^-1^
- det(kA)=k^n^det(A)
- $ adjA=\left|\begin{array}{cccc} A_{11}& A_{21} &...
&A_{n1}\ A_{12}^n&A_{22}&...&A_{n2}&\\ ...&...&...&...\\
A_{1n}&A_{2n}&...&A_{nn}
\end{array}\right| $ - A(adjA)=(adjA)A=|A|I
$A^{-1}=adjA/det(A)$
- 可逆
- |adjA|=|A|^n-1^
AB=I
- adjA=B
向量空间
n维向量空间及其子空间
- 不含零向量的子集不可能是子空间
- N(A)称为矩阵A的零空间，也是Ax=0的解
Span（）是向量组{}张成的子空间
- 向量组{}是R^n^的张集
- 需要有解
线性相关无关
线性无关
- Vx=0只有0解
- N(A)={0}
线性相关
- Vx=0有非零解
- N(A)！={0}
最小张集
- 最大线性无关
基和维数
一组基
- 最小张集
维数dim
- dimR^n^=n
- dimN(A)为矩阵A的零度（解空间的维数）
基变换
过渡矩阵S
- d=Sc
行列空间
A为mxn的矩阵
- 行空间是R^n^的子空间
行空间的维数rank(A)秩
- =行阶梯型中首变量的个数
=列空间的维数
- rank(A)=rank(A^T^)
- 列空间是R^m^的子空间
- rank(A)<=min(m,n)
秩零度定理
- rank(A)+dimN(A)=min(m,n)
rank(A)<行或列
- 行/列向量线性相关
- dimN(A)>0
- Ax=0有非零解
